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By Wolfgang Lück

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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H. X = Xn fur ein nEZ, dann ist der Beweis von (b) analog zu dem von (a). Urn den allgemeinen Fall zu behandeln, muss man noch beweisen, dass die Inklusion In: Xn --+ X fur k < n einen Isomorphismus 48 3 CW-Komplexe induziert. 7 (c)). B. 1 in IV auf Seite 149]). 0 Als nachstes berechnen wir den Kettenkomplex C,;t· (X, A) fur einen relativen CWKomplex (X, A). 26) ist. Fur n = 1, i E In und j E I n- 1 definieren wir Qr- inz~. ',J = falls q}«I,O)) = eJ und q}«-I,O)) =I- e6' falls q}«-I,O)) = e~ und q}«I,O)) =I- ej , sonst.

El,O), ... , (ei,O), (ei' 1), ... , (en+l' 1)]. i=l Sei X ein topologischer Raum. Dann definieren wir eine R-lineare Abbildung indem wir einem Basiselement u: ~n -+ X das Element C~i~T(u x id[o,ll)(hn(~n)(bn)) zuordnen. Offensichtlich sind diese Abbildungen hn(X) natiirlich in X und obige Formel ist die einzige M6glichkeit, solche natiirliche Abbildungen hn(X) zu konstruieren, wenn man den Wert von hn(~n) auf bn festgelegt hat. Fiir t E [0,1] definiere it(X): X -+ X x [0,1] durch x f-t (x, t).

H. eine kompakte (n+ 1)dimensionale Mannigfaltigkeit W, eine Abbildung F: W -+ X, eine disjunkte Zerlegung des Randes 8W = 8 0 W II 8 1 W und Diffeomorphismen Ui: Mi -+ 8 i W fur i = 0, 1 mit F 0 Ui = Ii fur i = 0,1. 33. (Bordismus). Mo f M x Dies ist in der Tat eine Aquivalenzrelation, Transitivitat zeigt man durch Zusammenkleben von Bordismen. Sei Nn(X) die Menge der Bordismusklassen [M, f] von singuaren n-Mannigfaltigkeiten (M, 1). Die disjunkte Summe induziert die Struktur einer abelschen Gruppe: [Mo, fo] + [Ml' ft] := [Mo II M 1 , fo II It]· Das neutrale Element ist durch [0 ---+ X] gegeben.

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