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By Ekkehard Krätzel

Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die für die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaußschen und Dedekindschen Summen erörtert. Anschließend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezüglich höherer arithmetischer Probleme besprochen. Schließlich werden analytische Funktionen über konvexen Körpern betrachtet und Abschätzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Körpern vorgenommen.

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Dann ist 8(1, b) b_l)2 = i ( -2 r. vb. 14) Beweis. Wir ullterscheiden die Falle b == 1 und 3 (mod 4). 13) 8(1, b) = ±Vb, also ist 8(1, b) reell. 7) 8(1, b) = 1+ (1 Re i) % e2tri ;kn2) . Wir zerlegen die Summe in 2 Teilsummen und bemerken, daB fUr komplexe Zahlen z gilt: z=rei<{J, r>O =:} Re(z)=rcoscp2::-r=-lzi. 1. GAUf3SCHE SUMMEN Fur die erste Summe erhalten wir L l:::;n:::;v'b 2 : + sin 7r2:2) (cos 7r2 > [v'b] > v'b-1. 5). Dann ist 8(1, b) > 1 + v'b - 1- v'2b > -v'b. Foiglich kann die Gleichung 8(1, b) = -v'b nicht bestehen, und es muB 8(1, b) = +v'b sein.

30) der Thetafunktion. 9(Oj it) - I} dt. 1 1m ersten Integral fiihren wir beziiglich des ersten Summanden die Substitution t -+ I/t aus, den Rest des Integrals rechnen wir aus. Dann ist 1T-~r (i) ((8) = 8(8 1 ~ 1) + ~ (c~-! 9(Ojit) -I)dt. 1 Dieses Integral konvergiert fiir aIle 8 und stellt eine holomorphe Funktion dar. Die rechte und damit auch die linke Seite ist folglich eine holomorphe Funktion in der gesamten Ebene mit Ausnahme der beiden Polstellen 8 = 0,1. ,fii. Daher hat ((8) in 8 = 1 einen einfachen Pol mit dem Residuum 1.

X~-n) ~ p , P m=O denn die Summe liber mist gleich p, wenn die Kongruenz losbar ist und gleich 0, wenll sie unlosbar ist. 16). )2k 2 p'i- 1s( -n,p). 17). 2n) a~n9-1 mit ganzen Zahlen a, b und Zahlen ih, {)2 mit 0 < {) 1 < 1, 0:::; {)2 < 1. Mit f(t) = {)lt2 + {)2t ist f"(t) = 2{)1. j2{)1· Es ist nicht zu erwarten, daB S im allgemeillell einem Reziprozitatsgesetz wie die G Aussschen Summen genligt, da die Zahlen {)1, {)2 auch irrationale Werte annehmen konnen. Jedoch konnen wir naherungsweise eill derartiges Gesetz aufstellen, wobei wir den auftretenden Fehler qualitativ gut abschatzen konnen.

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