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By Prof. Dr. Christian Hesse (auth.)

Das Buch gibt eine Einf?hrung in die Denkweisen, Methoden und Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie f?r Studierende der Mathematik und anderer Disziplinen. Neben einer intuitiven Verankerung der Theorie wird gro?er Wert auf realit?tsnahe Aufgaben und Beispiele gelegt. Das Buch enth?lt eine Vielzahl dieser Anwendungen aus den verschiedensten Gebieten.
Ein weiterer Vorzug: Die Beweisf?hrungen sind - bei aller mathematischen Strenge - m?glichst kurz und elementar gehalten, und es wurde Wert darauf gelegt, dass sie die ihnen zugrunde liegenden Ideen zu Tage treten lassen.
Auf diese Weise bem?ht sich das Buch, beiden Erscheinungsformen der Wahrscheinlichkeitstheorie gerecht zu werden: Als Teilgebiet der Mathematik besitzt diese alle Besonderheiten gelungener mathematischer Konzeptionen, von ausgefeilten Theoriegeb?uden ?ber strenge Argumentationslinien bis hin zu faszinierenden gel?sten und offenen Problemen. Als interdisziplin?re Wissenschaft erh?lt sie viele Anst??e von au?erhalb der Mathematik, und ihre Modelle und Methoden finden sich in so intestine wie jedem anderen Wissenschaftsbereich, von der Dynamik von Vielteilchensystemen, der stochastischen examine von Algorithmen, der Qualit?tskontrolle bis hin zur Aktienkursmodellierung und Spieltheorie.

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Dann gilt L (_l)k-1 P(A i1 n ... n A ik ), \In ;::: 2. l:::;h< ... 8) Die zweite Summe ist über alle k -elementigen Teilmengen {i l {I, ... ,n} gebildet. , ... i k } von Beweis. Wir führen den Beweis induktiv. 8), dass P(A I U A 2 ) = P(Ad + P(A 2 ) - P(A I n A 2 ). 5) ist dies eine wahre Aussage. 9) auf U~=l Ai und An+! ) P(Q,Ai) +P(A = n =L(-l)kk=l I Sk nH ) - + P(A n+1 ) P(Q(A. nA~Il) n - L(-l)k- I Sk, k=l bei Berücksichtigung der Induktionsvoraussetzung. 2 Wahrscheinlichkeitsmodelle 27 und bedenken, dass = P(A l ) + ...

S. gegen eine Zufallsgröße X , dann ist lim EXn = EX. 35) n--+oo Beweis. 35) nichts anderes ist als die Definition des Erwartungswertes der Zufallsgröße X . s. gegen X n konvergiert. Auch die Funktionen (Yk)kEN" mit Yk:= max Xnk lSnSk ' bilden eine isotone Folge elementarer Zufallsgrößen. 36) und wegen Monotonie des Integrals gilt EXn,k Mit k -t 00 ~ EYk ~ EXk. 38) lim X n n--+oo < lim Yk < lim X k - k--+oo - k--+oo und daraus lim Yk = lim Xk . 37) E( lim Yk ) = E( lim X k ) ~ lim EXk. 39) lim EXn ~ E( lim Xk) ~ lim EXk n--+oo und damit die Aussage des Satzes.

Für disjunkte Al,· .. , Am E A. Für a > 1 und n E N definiere B n := {aYn 2: Xd. Auch die Mengen B n liegen in A und B n t n . Denn für alle wEn mit Xk(w) = 0 ist w E B n , \In E N ,und für jene wEn mit Xk(W) > 0 haben wir lim aYl(w) l-too > Xk(W), so dass W E B n immerhin für alle hinreichend großen n. Nach Konstruktion ist ferner aYn 2: X k . ~~ faiP(Ai n B n) i=l i=l :::; a lim / YndP. h. sind V, W E Me mit V:::; W, so ist immer / VdP:::; / WdP. 3 Maße, Zufallsgrößen, Erwartungswerte 39 mit gleichen Mengen D 1 , •..

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